画面が立ち上がらないPCからデータを取り出す事は可能でしょうか?

ハードディスクが無事であれば可能です。

画面が立ち上がらない場合はマザーボードやメモリ、CPUや電源の故障が多いです。逆を言えばハードディスクは無事でデータが残っている事が多いため、店舗の方にもってきていただければハードディスクから特殊な方法でデータを抜き出します。そのデータは外付けハードディスクなどに入れてお渡し致します。